Passeio de cavalo sem espinhas

O passeio de cavalo por todo o tabuleiro pode ser visto como a soma dos passeios por cada um dos quatro padrões (que já se apresentou no anterior apontamento). Porém a forma de combinar aqueles passeios depende dos padrões associados às casas de partida (1) e de chegada (64).

Para definir um passeio de cavalo pelo tabuleiro é importante observar as soluções já apresentadas e os movimentos ao longo de cada quadrante. Daí surgem as seguintes importantes notas:
A) as quatro casas no meio de um quadrante podem ser usadas para mudar de padrão;
B) um cavalo não pode visitar todos as casas de um quadrante em 16 movimentos consecutivos. Tem que deixar o quadrante e voltar a ele mais tarde;
C) não é possível mudar directamente de um padrão para seu espelho;
D) cada padrão num qualquer quadrante tem casas próximas do centro do tabuleiro. Se se terminar o passeio por um padrão numa dessas casas, têm-se mais opções na persecução do passeio;
E) o acesso às casas de canto do tabuleiro (a1, a8, h1 e h8) é limitado. Deve fazer-se a visita a essas casas, se não coincidirem com a casa de chegada, imediatamente antes do cavalo ir mudar de quadrante;
F) nunca esquecer que a casa de partida e chegada têm que ter cores diferentes.

Todos os passeios de cavalo podem ser divididos em 3 famílias consoante os padrões das casas de partida (1) e de chegada (64).

1ª Família
Os passeios que terminam num padrão diferente do inicial, mas não no espelho desse padrão, são da 1ª família. Esta é a família mais abundante; metade dos caminhos possíveis é deste tipo.
 
O método recomendado para realizar o passeio de cavalo na 1ª família é completar o padrão inicial, passar para o padrão espelho do passeio final, seguido do padrão espelho da casa de partida e finalizar com o passeio do padrão final.
 
Exemplo, iniciar o passeio na casa a1, pertencente ao padrão diamante direito, e terminar em h7 do padrão carrossel esquerdo. Na solução apresentada abaixo preencheram-se todas as casas do padrão diamante direito a amarelo (de 1 a 16). Preencheu-se depois o padrão carrossel direito (17 a 32). Preencheu-se de seguida o padrão diamante esquerdo (de 33 a 48). Finalmente preencheu-se o padrão carrossel esquerdo, terminando em h7.

2ª Família
Os passeios que terminam no espelho do padrão inicial são da 2ª família. Um quarto de todos os passeios é desta família.
 
A técnica recomendada para este caso é não completar o padrão inicial e passar a um dos outros e completá-lo. Voltar ao padrão inicial e completá-lo. Depois passar ao outro padrão disponível (diferente do final) e completá-lo. Finalmente terminar realizando o padrão imagem do inicial, ou seja, o padrão final.
 
Exemplo, ir da casa b8 (carrossel esquerdo) à casa g4 (carrossel direito). É evidenciada a linha de ligação entre a primeira e a última casa.

3ª Família
Os passeios que começam e terminam no mesmo padrão são da 3ª família. Um quarto de todos os passeios é desta família.
 
A técnica para os passeios da família três é deixar o padrão inicial antes de o completar, para um dos outros disponíveis. Depois de completar esse padrão passar para o espelho do padrão inicial e completá-lo. Passar então para o espelho do padrão completado em primeiro lugar. Depois deste completo passar para o padrão inicial e terminar na casa de chegada.
 
Exemplo passeio de c4 (carrossel direito) a e7 (carrossel direito). Inicia-se preenchendo parcialmente o padrão carrossel direito (1 a 5). De seguida preencher completamente o padrão diamante esquerdo (6 a 21). Passar e completar o padrão carrossel esquerdo (22 a 37). Iniciar e completar de seguida o padrão diamante direito (38 a 53). Completar o padrão carrossel direito (54 a 64). 

Munidos destes instrumentos fica o desafio de cada um construir o seu próprio passeio de cavalo, definindo as suas casas pessoais de partida e de chegada. Assim podem dar o vosso próprio nome ao passeio de cavalo assim criado.
 
Por último, fica o desafio para compor um passeio sem olhar o tabuleiro. Sugere-se começar por resolver um passeio de cavalo imprimindo o tabuleiro abaixo e usando um lápis e desenhar aí um passeio. Resolva um passeio de cada família, percorrendo em saltos de cavalo com o lápis as casas de 1 a 64. Faça isso vários dias. Depois experimente resolver um passeio de cavalo sem olhar o papel ou o tabuleiro. Após algum tempo e prática vai conseguir fazer como o Luís de Matos, fazer o passeio de cavalo pelas 64 casas de olhos vendados, para qualquer casa de partida e de chegada.

Saiba mais da história destes passeios aqui.
O método de resolução do passeio de cavalo apresentado baseou-se na seguinte página.

Passeio de cavalo: padrão diamante e padrão carrossel

Quem tenta realizar o passeio de cavalo por todas as casas do tabuleiro de xadrez em apenas 64 movimentos, depara-se com um sério problema. Este passeio não é trivial! 

Entrar num dos muitos milhões de caminhos possíveis não é fácil, porque existem muitos mais milhões de percursos que não permitem atingir o objectivo.

Tal como quase tudo na vida, e no xadrez, os caminhos aleatórios e os de tentativa e erro são árduos e de difícil sucesso. Esses caminhos podem causar exaustão antes de se atingir o alvo.

A resposta para essa dificuldade é a definição de um método. O método comum em xadrez passa pelo reconhecimento de padrões. Em consonância podemos admitir que todas as casas do tabuleiro, no movimento do cavalo, são parte de um padrão diamante ou de um padrão carrossel.

Antes de avançarmos mais, sugerimos que se observe atentamente as soluções de passeio de cavalo apresentadas no anterior apontamento. As soluções apresentam alguma simetria geométrica. Há regiões do tabuleiro que apresentam sequências de movimentos semelhantes entre si. Pode-se identificar quatro regiões. Esta observação sugere a divisão do tabuleiro em 4 quadrantes conforme a figura abaixo.

Os quadrantes são todos semelhantes, embora com vizinhanças diversas entre si. Concentremo-nos agora em preencher com movimentos de cavalo um destes quadrantes.

Para atalhar, vamos definir 2 padrões de movimento de cavalo: diamante e carrossel. Ambos os padrões com versões esquerda e direita, conforme se identifica de seguida. A designação diamante está relacionada com a forma da trajectória. E a designação carrossel é atribuída também à forma e à dinâmica da trajectória do cavalo quando executa esse padrão. Os padrões diamante esquerdo e direito são espelho um do outro; o mesmo se considera nos padrões carrossel.

#Diamante esquerdo (DE)

Diamante direito (DD)

 Carrossel esquerdo (CE)

Carrossel direito (CD)

Cada quadrante, 4 x 4, pode ser preenchido pelos movimentos de cavalos usando os 4 padrões combinados: os diamantes cobrem os cantos e as 4 casas centrais; os carrosseis cobrem as outras 8 casas laterais. A passagem de um padrão para outro só é possível quando o cavalo se encontra numa das casas centrais (no padrão diamante). O preenchimento de cada quadrante é obtido como se mostra abaixo.

Aplicando esse preenchimento a todo o tabuleiro resulta que todas as casas do tabuleiro fazem parte de um padrão diamante ou de um padrão carrossel. 

Podemos definir agora o passeio de cavalo por todas as casas de um padrão. Dentro dessas casas escolha-se a casa de partida, 1, e a casa de chegada, 16. Se o cavalo partir de uma casa branca, no segundo movimento ocupará uma casa negra e no terceiro irá chegar a uma casa branca e assim sucessivamente até no 16 movimento ocupar uma casa negra. Ou seja, o cavalo nos movimentos com número ímpar ocupa casas de uma cor e nos movimentos pares ocupa casas de cor oposta.
 

Vamos fazer um passeio de cavalo pelas casas de padrão carrossel esquerdo. Vamos escolher por exemplo para casas de partida e chegada, respectivamente, b4 e e6. 

Um caminho alternativo para ligar as mesmas casas está representado abaixo.

A melhor forma de apreender é meter a mão na massa: experimente também.

Escolha um qualquer padrão. Seleccione dois quadrados para partida e chegada, com diferente cor, desse padrão do tabuleiro. Faça o passeio de cavalo desse padrão, em 16 movimentos, começando no 1 e terminando no 16. Encontre também um percurso alternativo, de ligação das mesmas casas. É divertido e ajuda a criar elasticidade mental nos movimentos de cavalo. Repita quantas vezes quiser com diferentes padrões. Não são conhecidas contra indicações… Se tiver coragem, tente fazer isso, também sem estar a ver o tabuleiro. 

No próximo apontamento terminamos o assunto do passeio de cavalo.

Magia do passeio de cavalo

O grande mago Luís de Matos, conterrâneo Ansianense, surpreendeu os telespectadores, há uns anos, num programa televisivo (Programa RTP) com o passeio de cavalo num tabuleiro de xadrez. O cavalo partida de uma qualquer casa do tabuleiro, e percorria as 64 casas, preenchendo todo o tabuleiro, sem passar duas vezes na mesma casa. E fazia isso com toda a facilidade de olhos vendados, mesmo que lhe fossem dadas aleatoriamente as casas de partida e de chegada, desde de que estas tivessem cores contrárias. Parecia impossível! 

Leonhard Euler (1707-1783) pintado por Jakob Handmann

Nas páginas da fantástica obra “O oito” de Katherine Neville (ver comentário a esta obra aqui) também se fala do particular passeio de cavalo criando pelo famoso matemático e Físico suíço Leonhard Euler em 1759:

Nesta solução Euler obteve uma tabela semi-mágica pois os números da ordem de movimentos somados em cada linha ou coluna dão sempre 260. 

A mais perfeito tabela mágica para este problema foi proposta por Edward Falkener em 1892, e corresponde à seguinte imagem 

O estudo do percurso de cavalo sobre um tabuleiro de xadrez, terá começado segundos alguns autores com os indianos no tempo em que foi criado o xadrez, e depois terá sido continuado pelos árabes. Porém, o primeiro documento escrito com a análise deste problema está datado do século XVI.

A evolução da ciência permite hoje estimar que o problema do passeio de cavalo por todas as casas do tabuleiro de xadrez, em 64 movimentos, tem mais de 33 biliões  de possibilidades. Um número astronómico!! 

Experimente realizar este exercício por si! E irá experimentar a dificuldade do problema: não poder passar mais de uma vez em cada casa.

No próximo apontamento iremos começar a ensinar o método para resolver este problema. Pois isso é um óptimo treino para jogar xadrez!! Incluindo o xadrez às cegas!!

Cavalo

Há quem diga que o cavalo representa o aspecto mais romântico do xadrez. Entre todas as peças deste jogo, o cavalo é a única que se move de uma forma não linear: duas casas numa dimensão por uma na outra ou vice-versa. Essa forma de se movimentar conjugada com a possibilidade de passar sobre as peças suas companheiras ou as peças de cor oposta podem gerar posições estranhas e quase imprevisíveis. Veja-se a título de exemplo a posição abaixo atingida numa prova em ritmo clássico, após 7 jogadas (Ataque duplo de cavalo das brancas, e negras simultaneamente limitadas nos movimentos de Rei e Dama).

Tanto quanto sabemos, o cavalo é uma peça que não alterou a sua forma de movimento ao longo do tempo (veja por exemplo o livro focado no anterior artigo). Quando nos perguntamos qual será a origem deste estranho movimento não será fácil encontrar uma resposta. Porém uma das perspectivas que mais justifica o movimento indica que sendo as peças de xadrez uma representação do exército, o movimento de cavalo teria vantagem estratégica em flanquear, movimento em L, uma formação de peões. Já se o cavalo tivesse um movimento linear os peões poderiam mais facilmente igualar com formação compacta e longas lanças. Porém, esta justificação parece mais estratégia militar do século 18 e 19 do que a estratégia militar do século 5 ou 6, período em que terá sido criado o xadrez.

Os ataques duplos de cavalos são ferozes armas tácticas do meu jogo e dos finais. E o cavalo é uma das peças que possibilita maior vantagem em partidas jogadas em ritmo de rápidas.  

No próximo apontamento abordamos uma questão muito em voga actualmente em problemas de encriptação de dados o passeio de cavalo. Neste, o cavalo percorre toda a área do tabuleiro em apenas 64 movimentos.